PBRT-采样前置知识

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复数

直角坐标表示

复数的基本单位是$i = \sqrt{-1} $，复数空间的每个数可以表示为$a + bi$的形式，其中，a是实部，b是虚部

复数可以在复平面上表示，复平面的横纵坐标分别为实部和虚部，例如：

极坐标表示

复数使用极坐标可以表示为$(r, \theta)$，其中$r = \sqrt{a^2 + b^2}$，也称为强度，$\theta = arctan(\frac{b}{a})$，也称为相位

例如，复数$4 + 3i$的直角坐标为$(4, 3)$，极坐标为$(5, arctan(\frac{3}{4}))$

极坐标转直角坐标：

令复数的极坐标为$(r, \theta)$，则直角坐标为$(rcos\theta, rsin\theta)$

复数波和实数波

实数波表示为$cos\theta$和$sin\theta$的形式，复数波使用$e^{i\theta}$表示，且有：
$$
e^{i\theta} = cos\theta + i\ sin\theta
$$
当$\theta = \pi$时，有欧拉公式：
$$
e^{i\pi} = -1
$$
两者的示意图如下：

可以通过组合复数波得到实数波：
$$
cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \
sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}
$$

正弦信号

连续时间

$$
x(t) = Acos(w_0t + \phi)
$$

性质

周期性
$$
x(t) = x(t + T_0), period = smallest\ \ T_0
$$
相变和时移等价
$$
Acos[w_0(t + t_0)] = Acos[w_0t + w_0 t_0] \
Acos[w_0(t + t_0) + \phi] = Acos[w_0 t + w_0 t + \phi]
$$
频率不具有周期性

假设有2个信号：
$$
x_1(t) = Acos(w_1 t + \phi) \
x_2(t) = Acos(w_2 t + \phi)
$$
如果$w_1 \neq w_2$，则$x_1(t) \neq x_2(t)$

离散时间

$$
x[n] = Acos(\Omega_0n + \phi)
$$

性质

特定条件下具有周期

假设有：
$$
x[n] = x[n + N]
$$
将式子展开：
$$
Acos[\Omega_0 (n + N) + \phi] = Acos[\Omega_0 n + \Omega_0 N + \phi]
$$
如果具有周期性，需要满足：
$$
\Omega_0 N = 2\pi m \
N = \frac{2\pi m}{\Omega_0}
$$
其中$N, m$都是整数，此时周期为最小的$N$

时移等于相变
$$
Acos[\Omega_0(n + n_0)] = Acos[\Omega_0 n + \Omega_0 n_0]
$$
相变不一定等于时移

对于式子：
$$
x[n] = Acos[\Omega_0 n + \phi]
$$
当且仅当$\phi = n_0\Omega_0$时，有：
$$
Acos[\Omega_0 n + \phi] = Acos[\Omega_0(n + n_0)]
$$
否则，相变无法转换成时移

频率具有周期性

假设有两个信号：
$$
x_1[n] = Acos[\Omega_1 n + \phi] \
x_2[n] = Acos[\Omega_2 n + \phi]
$$
当且仅当$\Omega_1 = \Omega_2 + 2\pi m$时，$x_1[n] = x_2[n]$

复指数信号

连续时间

$$
x(t)
= Ce^{at} \
= |C|e^{j\theta} e^{(r+jw_0)t} \
= |C|e^{rt} e^{j(w_0t + \theta)} \
= |C|e^{rt}cos(w_0 t + \theta) + j |C| e^{rt} sin(w_0 t + \theta)
$$

离散时间

$$
x[n]
= C \alpha^n \
= |C|e^{j\theta} (|\alpha| e^{j\Omega_0})^n \
= |C||\alpha |^n e^{j(\Omega_0 n + \theta)} \
= |C||\alpha |^n cos(\Omega_0 n + \theta) + j |C||\alpha |^n sin(\Omega_0 n + \theta)
$$

单位阶跃和单位脉冲函数

离散时间

离散时间单位阶跃函数：
$$
u[n] =
\left{
\begin{aligned}
1, & n \geq 0\
0, & n < 0
\end{aligned}
\right.
$$

离散时间单位脉冲函数：
$$
\delta[n] =
\left{
\begin{aligned}
1, n = 0 \
0, n \neq 0
\end{aligned}
\right.
$$

关系：
$$
\delta [n] = u[n] - u[n - 1]
$$

$$
u[n]
= \sum_{m = -\infty}^{n} \delta [m] \
= \sum_{k = 0}^{+\infty} \delta[n - k]
$$

连续时间

连续时间单位阶跃函数：
$$
u(t) =
\left{
\begin{aligned}
1, & t \geq 0\
0, & t < 0
\end{aligned}
\right.
$$

连续时间单位脉冲函数：
$$
\delta(t) =
\left{
\begin{aligned}
1, t = 0 \
0, t \neq 0
\end{aligned}
\right.
$$

关系：
$$
\delta (t) = \frac{du(t)}{dt}
$$

$$
u(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d\tau
$$

卷积

对于线性时不变系统，离散时间下的卷积公式：
$$
y[n] = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} x[k]h[n - k]
$$
记为：
$$
y[n] = x[n] * h[n]
$$
相当于把$h[n]$沿y轴翻转后向右平移n个单位，得到函数$h_1[n]$，再将$h_1[n]$与$x[n]$相乘并求线性组合，即可得到卷积结果$y[n]$

当$h[n]$为脉冲序列时，卷积相当于将$x[n]$复制到每一个脉冲的位置

连续时间下的卷积公式：
$$
y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(t - \tau)d\tau
$$
记为：
$$
y(t) = x(t) * h(t)
$$

卷积的性质：

交换律

分配律

结合律

傅里叶级数

傅里叶级数可以理解为复指数的线性组合

连续时间

连续时间傅里叶级数：
$$
x(t) = \sum_{-\infty}^{+\infty}a^k e^{jkw_0t}
$$

傅里叶级数系数：
$$
a_k = \frac{1}{T} \int_{T} x(t) e^{-jkw_0t} dt
$$
该系数又称为频谱系数

需要注意，傅里叶级数的求和范围是负无穷大到正无穷大，而傅里叶级数系数的积分范围是一个周期

性质：

离散时间

离散时间傅里叶级数：
$$
x[n] = \sum_{k=}a_k e^{jkw_0n}
$$
傅里叶级数系数：
$$
a_k = \frac{1}{N} \sum_{k=} x[n] e^{-jkw_0n}
$$
离散时间傅里叶级数只对1个周期内的复指数做线性组合，这是因为$(k + N)w_0 = kw_0 + 2\pi$，即此时的复指数具有周期性

性质：

傅里叶变换

连续时间

连续时间非周期信号的傅里叶变换：
$$
x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(jw)e^{jwt} dw
$$

$$
X(jw) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-jwt} dt
$$

可记为：
$$
x(t) \overset{\mathscr{F}}{\longleftrightarrow} X(jw)
$$

其中，$X(jw)$是$x(t)$的傅里叶变换，它告诉我们将$x(t)$表示为不同频率正弦信号的线性组合所需要的信息，即信号的频域

这里的思想是，将信号的周期设为无穷大，则频率趋近于0，周期信号就近似地变为非周期信号。同时，组成信号的复指数成分之间的频率差异也趋近于0，$w = kw_0$可视为连续

对于周期信号而言，其傅里叶级数系数为非周期傅里叶变换的一个样本，因为此时的频率$w_0$为一固定的值，对应的$w = kw_0$是离散的点

同时，一个傅里叶级数系数为$a_k$的周期信号的傅里叶变换，可以看成是出现在谐波关系的频率上的一串冲激函数，发生于第$k$次谐波频率$w_0$的冲激函数的面积是第$k$个傅里叶级数系数$a_k$的$2\pi$倍，用公式表述为：
$$
X(jw) = \sum_{-\infty}^{+\infty} 2\pi a_k \delta(w - kw_0)
$$

连续时间傅里叶变换的性质：