CG-三次样条函数

推导

参数连续性

给定2条曲线：

曲线和是连续的，如果它们从阶导数至阶导数在处完全相同

根据定义有：

连续：曲线上的点连续，不存在尖点

连续：曲线上点的一阶导数存在且连续

连续：曲线上点的二阶导数存在且连续

几何连续性

由于参数连续性过于严格，在集合设计中不太直观，连续性依赖于参数的选择，同一条曲线，参数不同，连续阶也不同。但是，可以通过引入参数变换使其满足参数连续。

设$$ 是给定的曲线。若存在一个参数变换$$, 使得$$, 且$$，则称曲线$$是$$阶几何连续的曲线，记为：
$$
性质：

• 条件$$保证了曲线上没有奇点
• 几何连续性与参数选择无关，是曲线本身固有的性质
• $$的条件比$$要宽，曲线类型更多

根据定义有：

$$连续：两条曲线有公共的端点

$$连续：两条曲线在连接点处有公共的切线，即切线方向连续

$$连续：两条曲线在连接点处有公共的曲率圆，即曲率连续

$$连续

对于 $$ 内的一组点集$$, 取参数集合为$$，假设经过点$$ 和$$ 的曲线方程为$$, 则：
$$

$$

$$

曲线经过点$$, 则:
$$
曲线经过点$$且$$连续，令$$, 则：
$$
由于$$连续，则：
$$
\boldsymbol{F^{‘}i}(t{i+1}) = \boldsymbol b_i + 2\boldsymbol{c_i}(t_{i+1} - t_i) + 3\boldsymbol{d_i}(t_{i+1}-t_i)^2 = \boldsymbol b_i + 2\boldsymbol{c_i}h_i + 3\boldsymbol{d_i}h_i^2 \tag6
$$

$$
\boldsymbol{F^{‘}{i+1}}(t{i+1}) = \boldsymbol b_{i+1} + 2\boldsymbol{c_{i+1}}(t_{i+1} - t_{i+1}) + 3\boldsymbol{d_{i+1}}(t_{i+1}-t_{i+1})^2 = \boldsymbol b_{i+1} \tag7
$$

联立(6)(7)式可得：
$$
由于$$连续，则：
$$
设$$ 为插值点$$的二阶导数，则
$$
根据(9)式得：
$$
得到：
$$
联立(5)(12)式可得：
$$
联立(4)(8)(10)(12)(13)可得：
$$
此时还缺少两个方程才能解出曲线的未知参数，有如下约束可以选择：

• 自由端：指定曲线在两个端点的二阶导数，即
  $$
  该样条为自然三次样条

• 夹持端：指定曲线在两个端点的一阶导数

• 其他：

  • 曲线两端为抛物线
  • 周期端
  • 混合边界条件

这里以自然边界条件为例，则线性方程组为：
$$
$$

$$

6
$$
$$
将该方程组的第1行第1列，最后1行最后1列去掉，满足三对角矩阵和对角线占优，可以使用追赶法求解方程组，具体方法见：

Tridiagonal matrix algorithm

实现

github代码：

https://github.com/olleh-dlrow/Vortex/blob/master/Sandbox/src/CubicSplinesTest.h

数据结构

型值点具有如下信息：

• 位置
• 一阶左导数
• 一阶右导数
• 参数t
• 几何连续性类型

绘制自然三次样条

输入：型值点

输出：拟合后的三次样条曲线，型值点的参数值、导数值

根据公式计算每段曲线的未知参数，并初始化型值点的参数值和导数值，最后根据曲线计算若干离散点进行绘制

编辑型值点

选中型值点后，进入编辑模式，可以通过调整切线的控制点改变该点的切线值，根据点的几何连续性类型有如下情况：

$$连续：切线无约束

$$连续：左右切线向量的方向相同

$$连续：左右切线向量相同

移动型值点

在编辑模式下，拖动型值点即可移动该点，此时需要更新型值点两端的曲线，根据曲线两端点的函数值和一阶导数得到4个方程，可以解得曲线$$的参数如下，其中$$：
$$

$$

$$
\boldsymbol{d_i} = \frac{2\boldsymbol{F_i}(t_i) + \boldsymbol{F^{\‘}{i+}}(t_i) h_i + \boldsymbol{F^{\‘}{i-}}(t_{i+1})h_i - 2\boldsymbol{F_i}(t_{i+1})}{h_i^3}
$$

$$
\boldsymbol{c_i} = \frac{\boldsymbol{F^{\‘}{i-}}(t{i+1}) - \boldsymbol{F^{\‘}{i+}}(t{i}) - 3\boldsymbol{d_i}h_i^2 }{2h_i}
$$

添加型值点

在完成初始化后，添加新的型值点不再需要保证$$连续， 此时根据末端点$$和新点$$生成曲线$$，需要4个约束方程来计算未知参数，一种方法是，使用两个点的函数值和$$在$$的一阶、二阶导数建立4个方程，该方法经过实现效果并不好，生成的新曲线容易出现极大值。这里介绍第二种方法，使用自然端约束，即$$的二阶导数为$$

根据条件建立4个方程，可以解得4个未知参数如下，其中$$：
$$

$$
\boldsymbol{b_i} = \boldsymbol{F^{‘}{i+}}(t_i) = \boldsymbol{F^{‘}{i-}}(t_i)
$$

$$

$$

该方法生成的切线向量长度适中，比较适合进一步编辑

删除型值点

鼠标悬停在某个型值点上后，按下E键即可删除该点，此时需要更新所有点的参数$$，并重新计算曲线，方法同移动型值点处的计算方法